MATEMÁTICAS II: marzo 2015

DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

DEFINICIÓN DE POLÍGONO: Etimológicamente, la palabra “POLÍGONO” proviene de las raíces “POLI” que significa “muchos” y “GONOS” que significa “ángulos”; por lo tanto, es un trazo que contiene muchos ángulos.

Los polígonos son figuras cerradas, formadas por varios segmentos de líneas, a las que llamamos lados.

¿CÓMO RECONOCEMOS UN POLÍGONO?

Si dibujamos dos líneas que se cruzan entre ellas, no tendremos un polígono, porque no podremos cerrar esa figura. Entonces, para que podamos decir que una determinada figura es un polígono, deberá tener tres o más lados.

NOTACIÓN: Los polígonos se nombran mediante letras mayúsculas situadas en lo vértices del mismo, después de la palabra “Polígono”.

En un polígono hay que considerar:

LADOS: Son las rectas que limitan al polígono.

ÁNGULOS INTERNOS: Son los formados por los lados consecutivos.

ÁNGULOS EXTERNOS: Son los formados por un lado y la prolongación de lado adyacente.

VÉRTICES: Son los extremos comunes de cada dos segmentos consecutivos.

DIAGONALES: Son las rectas que unen dos vértices no consecutivos del polígono.

POLIGONAL, ABIERTA: Son los segmentos que no pertenece a una misma recta.

POLIGONAL CERRADA: Es una poligonal en la que el extremo del último segmento y el origen del primero coinciden.

CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS

Según el carácter entrante o saliente de los ángulos del polígono se distingue lo siguiente:

a) POLÍGONOS CONVEXOS: Cuando tienen todos sus lados salientes, es decir, tienen todos sus ángulos menores que 180°.

b) POLÍGONOS CONCAVOS: Cuando tienen algún ángulo entrante, es decir, uno ó más de sus ángulos interiores son mayores de 180°.

Según la regularidad de sus elementos se distingue lo siguiente:

a) POLÍGONOS REGULARES: Son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales.

b) POLÍGONO IRREGULAR: Son aquellos que no tienen todos sus lados y ángulos iguales.

Según el número de lados, algunos polígonos reciben nombres específicos.

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ÁNGULOS INTERIORES Y EXTERIORES EN LOS POLÍGONOS

ÁNGULOS INTERIORES: Son los ángulos que se encuentran dentro de la figura.

ÁNGULOS EXTERIORES: Son los ángulos entre un lado de la figura y la linea que se extiende desde el lado siguiente.

En el siguiente figura los ángulos interiores se encuentran de color azul, mientras que los ángulos exteriores de color verde.

Ahora que ya sabes que son los ángulos interiores y exteriores, aprenderemos a calcularlos a través de modelos matemáticos.

CALCULAR ÁNGULOS INTERIORES

Para determinar la suma de los ángulos internos de cualquier polígono regular se ocupa la siguiente formula:

(n-2)(180)

Donde n: es el numero de lados de la figura

Para determinar solo un angulo interior de cualquier polígono regular se ocupa la siguiente formula

(n-)(180)/n

Donde n: es el numero de lados de la figura

En la siguiente figura aprenderemos a calcular

1.-La suma de los ángulos interiores

2.- Un solo angulo interior de la misma.

Figura hexágono 6 lados.

1.- Se ocupa la siguiente formula

(n-2)(180)

Sustituimos y resolvemos de izquierda a derecha.

(6-2)(180)

(4)(180)

Suma total de los angulos interiores=720°

2.- Se ocupa la siguiente formula ya que solo se quiere saber cuanto mide solo un angulo interior de la figura, NO LA SUMA.

(n-2)(180)/n

Sustituimos y resolvemos de izquierda a derecha.

(6-2)(180)/6

(4)(180)/6

720/6

Un solo angulo interior de la figura mide=120°

EJERCICIOS

CALCULA LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS Y DESPUÉS SOLO LA MEDIDA DE UN SOLO ANGULO INTERNO DE LAS SIGUIENTES FIGURAS.

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LUGARES GEOMETRICOS RELACIONADOS CON LA CIRCUNFERENCIA

CENTRO: Es el punto que esta justo en medio del circulo.

DIAMETRO: Es la máxima distancia entre cualquier par de puntos del mismo. Corta al circulo exactamente en dos partes, pasa por el centro.

RADIO: Es la distancia de su centro hacia cualquiera de los puntos de su circunferencia.

CUERDA: Es la linea que toca dos puntos de la circunferencia, sin pasar por el centro.

SECANTE: Es la linea que atraviesa el circulo, llegando desde el exterior.

TANGENTE: Es una linea que toca la circunferencia en un solo punto, y en su trayectoria jamas corta o atraviesa el circulo.

ARCO: Contenido en la cuerda.

FLECHA: Es la distancia entre el centro del arco con el centro de la cuerda.

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TEOREMAS DE ÁNGULOS DENTRO Y FUERA DE LA CIRCUNFERENCIA.

ANGULO CENTRAL

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

ANGULO INSCRITO

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

ANGULO SEMI-INSCRITO

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

ANGULO INTERIOR

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

ANGULO EXTERIOR

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

TEOREMAS DE LOS ÁNGULOS
T1: Un angulo inscrito es la mitad de un angulo central siempre y cuando compartan el mismo arco.

T2: Cuando el radio o el diámetro toca con el punto de tangente forman lineas perpendiculares.

T3: Al trazar un diámetro y unir sus extremos en cualquier punto de su circunferencia encontramos un triangulo rectángulo.

EJERCICIOS

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TEOREMAS DE MEDIAS PROPORCIONALES

Junto con los conceptos de potencia, la geometría del triángulo rectángulo permite resolver la obtención de medias proporcionales mediante los teoremas denominados de la altura y del cateto.

Antes de enunciar y deducir estos teoremas, recordemos algunos conceptos básicos de proporcionalidad para entender qué es lo que podemos resolver con las construcciones derivadas de estos modelos geométricos.

Cuarto proporcional

Dada la relación matemática x/a =b/c llamamos cuarto proporcional al valor de x, es decir

x=a*b/c

Tercero proporcional

Dada la relación matemática x/a = a/b llamamos tercero proporcional al valor de x, es decir

x=a*a/b

Media proporcional

Dada la relación matemática x/a=b/x llamamos media proporcional al valor de x, es decir

x= raíz cuadrada de a*b

En los tres casos definidos, la relación puede provenir de modelos basados en la semejanza y por lo tanto de relaciones obtenidas aplicando el teorema de Thales.

Geometría del triángulo rectángulo

Podemos obtener un triángulo rectángulo utilizando como hipotenusa un diámetro de una circunferencia, y como vértice opuesto un punto de la misma, ya que determina un arco capaz de 90 grados sobre dicho diámetro.

Si obtenemos la altura h del triángulo desde el ángulo recto (vértice A) y determinamos su intersección H con la hipotenusa (pie de la altura) podemos determinar tres triángulos rectángulo semejantes:

ABC

HAC

HBA